Мэром Орла Вельковский был с 1997 по 2001 годы. А до этого возглавлял муниципальное автотранспортное предприятие ПАТП-1. После работы в городской администрации стал заместителем губернатора Орловской области. С 2014 года трудился советником главы региона.

Несмотря на преклонный возраст, Ефим Николаевич постоянно ходил на работу, посещал планёрки в областной и городской администрациях.