В Красной Армии с 1938 года. Участник советско-финской войны 1939-1940 годов. Сражался с фашистами с сентября 1941 года. 

В 1942-м окончил Сумское артиллерийское училище. Воевал на Западном, Воронежском и 1-м Украинском фронтах. Во время боёв за Ржев получил ранение. В боях на Орловско-Курской дуге проявил большую храбрость и был отмечен орденом Красной Звезды.

Командир батареи 869-го истребительно-противотанкового артиллерийского полка (52-я армия, Воронежский фронт) капитан Василий Ёлкин отличился 22 сентября 1943 года при отражении контратаки противника в районе села Бригадировка (Полтавская область). Батарея подбила четыре танка, три штурмовые орудия, отразила контратаку противника и удержала село, а после - участвовала в форсировании Днепра.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 декабря 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом мужество и героизм, капитану Ёлкину Василию Дмитриевичу присвоили звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 2612).

Наш земляк участвовал в отражении контрудара противника в районе города Малин Житомирской области, за что награждён орденом Александра Невского и в боях за город Тернополь получил орден Отечественной войны 2-й степени.

После войны Герой продолжил службу в рядах Советской Армии. В 1945 году окончил Высшую офицерскую артиллерийскую школу, а в 1958-м - Военную командную академию ПВО. С 1961 года полковник Ёлкин - в запасе.

Жил в Ленинграде, работал преподавателем военной кафедры института связи. Умер 16 января 2001 года. Похоронен на Красненьком кладбище в Санкт-Петербурге.